Question

如图，AB是⊙O的直径，AE平分∠BAF，交⊙O于点E，过点E作直线ED⊥AF，交AF的延长线于点D，交AB的延长线于点C．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若CB=2，CE=4，求AE的长．

Answer

（1）连接OE，由角平分线的性质，结合平行线的性质；易证得OE⊥CD；故可得CD是⊙O的切线．
（2）设r是⊙O的半径，在Rt△CEO中，CO2=OE2+CE2，进而有OE∥AD可得△CEO∽△CDA，可得比例关系式，代入数据可得答案．
（1）证明：连接OE，
∵AE平分∠BAF，
∴∠BAE=∠DAE．（1分）
∵OE=OA，
∴∠BAE=∠OEA．（2分）
∴∠OEA=∠DAE．
∴OE∥AD．（3分）
∵AD⊥CD，
∴OE⊥CD．
∴CD是⊙O的切线．（4分）

（2）【解析】
设r是⊙O的半径，
在Rt△CEO中，CO2=OE2+CE2，（5分）
即（2+r）2=r2+42，
解得r=3．（6分）
∵OE∥AD，
∴△CEO∽△CDA，
∴，（7分）
即．
解得．（8分）
∴=．（9分）