Question

（1）如图1，若⊙O₁与⊙O₂外切于A，BC是⊙O₁与⊙O₂外公切线，B、C为切点，求证：AB⊥AC．
（2）如图2，若⊙O₁与⊙O₂外离，BC是⊙O₁与⊙O₂的外公切线，B、C为切点，连心线O₁O₂分别交⊙O₁、⊙O₂于M、N，BM、CN的延长线交于P，则BP与CP是否垂直？证明你的结论．
（3）如图3，若⊙O₁与⊙O₂相交，BC是⊙O₁与⊙O₂的公切线，B、C为切点，连心线O₁O₂分别交⊙O₁、⊙O₂于M、N，Q是线段MN上一点，连接BQ、CQ，则BQ与CQ是否垂直？证明你的结论．

Answer

（1）连接O1B，O2C，根据切线的性质可以得到∠O1BC=∠O2CB=90°，再用△O1AB，△O2AC的内角和是180°进行证明．
（2）连接O1B，O2C，根据切线的性质得到∠O1BC=∠O2CB=90°，再用三角形的内角和以及对顶角的性质进行证明．
（3）连接O1B，O2C，根据切线的性质得到∠O1BC=∠O2CB=90°，然后用三角形中大边对大角以及三角形的内角和定理进行证明．
（1）证明：如图1，连接O1A，O2C，
∵BC是两圆的外公切线，
∴∠O1BC=∠O2CB=90°，
∴O1B∥O2C，
∴∠O1+∠O2=180°，
∵∠O1AB=∠O1BA=（180°-∠O1）=90°-∠O1=90°-∠ABC，
∴∠ABC=∠O1，
同理：∠ACB=∠O2，
∴∠ABC+∠ACB=（∠O1+∠O2）=90°，
∴∠BAC=90°．
∴AB⊥AC；

（2）【解析】
BP⊥CP．
证明：如图2，连接O1B，O2C，
∵BC是两圆的外公切线，
∴∠O1BC=∠O2CB=90°，
∴O1B∥O2C，
∴∠O1+∠O2=180°．
∠O1BM=∠O1MB=（180°-∠O1）=90°-∠O1=90°-∠PBC，
∴∠PBC=∠O1，
同理：∠PCB=∠O2，
∴∠PBC+∠PCB=（∠O1+∠O2）=90°，
∴∠BPC=90°，
∴BP⊥CP；

（3）【解析】
BQ与CQ不垂直．
证明：如图3，连接O1B，O2C，
∵BC是两圆的外公切线，
∴∠O1BC=∠O2CB=90°，
∴O1B∥O2C，
∴∠O1+∠O2=180°．
∵O1B＞O1Q，
∴∠O1QB＞∠O1BQ，
同理：∠O2QC＞∠O2CQ，
∴∠O1QB+∠O2QC＞∠O1BQ+∠O2CQ，
∴∠O1QB+∠O2QC＞90°，
∴∠BQC＜90°
∴BQ与CQ不垂直．