Question

如图，AB为⊙O的直径，D、T是圆上的两点，且AT平分∠BAD，过点T作AD延长线的垂线PQ，垂足为C．
（1）求证：PQ是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，，求弦AD的长．

Answer

（1）要证明PQ是⊙O的切线只要证明OT⊥PQ即可；
（2）由已知可求得OM的长，从而利用勾股定理求得AD的长．
证明：（1）连接OT；
∵OT=OA，
∴∠ATO=∠OAT，
又∵∠TAC=∠BAT，
∴∠ATO=∠TAC，
∴OT∥AC；
∵AC⊥PQ，
∴OT⊥PQ，
∴PQ是⊙O的切线．

（2）【解析】
过点O作OM⊥AC于M，则AM=MD；
又∠OTC=∠ACT=∠OMC=90°，
∴四边形OTCM为矩形，
∴，
∴在Rt△AOM中，，
∴弦AD的长为2．