Question

如图所示，在矩形ABCD中，AB=6，AD=2，点P是边BC上的动点（点P不与点B，C重合），过点P作直线PQ∥BD，交CD边于Q点，再把△PQC沿着动直线PQ对折，点C的对应点是R点．设CP=x，△PQR与矩形ABCD重叠部分的面积为y．
（1）求∠CPQ的度数．
（2）当x取何值时，点R落在矩形ABCD的边AB上？
（3）当点R在矩形ABCD外部时，求y与x的函数关系式．并求此时函数值y的取值范围．

Answer

（1）此题首先要抓住运动变换中的不变量和不变关系：①矩形的长度；②△ABD和△BCD的形状特征及三边关系；③PQ∥BD；④△PQC与△PQR关于PQ对称，满足轴对称的一切性质等；
（2）要找准瞬间状态，准确的画出图形，变动为不动；
（3）以（2）题的结论为界点，分段考虑问题．
【解析】
（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AD=BC；
又AB=6，AD=2，∠C=90°，
∴CD=6，BC=2；
∴tan∠CDB==；
∴∠CDB=30°，∠CBD=60°；
∵PQ∥BD，
∴∠CPQ=∠CBD=60°；

（2）如图，由轴对称的性质知：△RPQ≌△CPQ，
∴∠RPQ=∠CPQ，RP=CP；
由（1）知：∠CQP=30°，
∴∠RPQ=∠CPQ=60°；
∴∠RPB=60°，∴RP=2BP；
令CP=x，∴RP=x，PB=2-x；
在△RPB中，根据题意，得：2（2-x）=x，解得x=；

（3）当R在矩形ABCD的外部时，＜x＜2；
在Rt△PFB中，∵∠RPB=60°，
∴PF=2BP=2（2-x）；
又∵RP=CP=x，
∴RF=RP-PF=3x-4；
在Rt△ERF中，∵∠EFR=∠PFB=30°，
∴ER=x-4；
∴S△ERF=ER×FR=x2-12x+8；
∴y=S△RPQ-S△ERF；
∴当＜x＜2时，y=-x2+12x-8．
∴＜y＜4．