Question

如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴上，B点坐标为（4，3）．抛物线y₁=x²+bx+c经过O、A两点．
（1）则直线OB函数关系式______，抛物线y₁的函数关系式______．
（2）若沿x轴负方向平移抛物线y₁，使其经过点B，得到抛物线y₂，则平移的距离是______个单位长度，抛物线y₂的解析式是______．
（3）设P为线段OB上一点，过点P作y轴的平行线分别交抛物线y₁、y₂于点Q、R，连接CP、CR、CQ．若P点的横坐标为m，当△CPR的面积是△CQR的面积的2倍时，求m的值．

Answer

（1）首先求出A，B，C的点的坐标，再利用待定系数法分别求出直线OB函数关系式，抛物线y1的函数关系式；
（2）利用二次函数图象的平移性质，沿x轴负方向平移抛物线y1，得出a，c的值不变，即可求出；
（3）表示出△CPR的面积以及△CQR的面积根据两者的面积关系得出m的值．
【解析】
（1）∵B点坐标为（4，3），
∴代入解析式y=kx，
得出OB：y=x；
根据B点坐标为（4，3），
∴A（0，0），C（4，0）
代入y1=x2+bx+c，
∴，
∴c=0，b=-1，
∴y1=x2-x；
故答案为：y=x，y1=x2-x；

（2）∵y1=x2-x=（x-2）2-1；
∵沿x轴负方向平移抛物线y1，使其经过点B，得到抛物线y2，
∴抛物线y2过B点，假设y2=（x+a）2-1；
代入B点，解得：a=0或-8（不合题意舍去），
∴平行的距离为：2个单位长度，
∴y2=x2-1；

（3）由题意知0≤m≤4．
要使△CPR的面积是△CQR的面积的2倍，只需PR=2QR．
若Q在R、P之间，则PR=m-（m2-1）=-m2+m+1
2QR=2[m2-m-（m2-1）]=2-2m．
∴-m2+m+1=2-2m，
解得m1=，m2=，
∵m2＞5，不符合题意，舍去．
若R在Q、P之间，则PR=m-（m2-1）=-m2+m+1，
2QR=2[m2-1-（m2-m）]=2m-2．
∴-m2+m+1=2m-2，
解得：m1=，m2=，
∵m2＜0，不符合题意，舍去．
综上所述，当△CPR的面积是△CQR的面积的2倍时，
m=或m=．