Question

如图，在平面直角坐标系中，一底角为60°的等腰梯形ABCD的下底AB在x轴的正半轴上，A为坐标原点，点B的坐标为（m，0），对角线BD平分∠ABC，一动点P在BD上以每秒一个单位长度的速度由B→D运动（点P不与B，D重合）．过P作PE⊥BD交AB于点E，交线段BC（或CD）于点F．
（1）用含m的代数式表示线段AD的长是______；
（2）当直线PE经过点C时，它的解析式为y=x-2，求m的值；
（3）在上述结论下，设动点P运动了t秒时，△AEF的面积为S，求S与t的函数关系式；并写出t为何值时，S取得最大值，最大值是多少？

Answer

（1）根据条件可以证明∠ADB=90°，而∠ABD=30°，则AD=AB．
（2）当直线PE过点C时，易证△CEB为等边三角形，因而C的坐标可以用m表示出来，把C的坐标代入函数y=x-2就可以求出m的值．
（3）本题应分点F在线段BC上和点F在线段DC上两种情况进行讨论．当点F在线段BC上，△FEB为等边三角形；而点F在线段DC上时，△FEB的面积S=AE•FG．而AE、FG可以用t表示出来．因而就可以得到函数解析式．则求面积的最值的问题就可以转化为求函数的最值问题．
【解析】
（1）．（3分）

（2）如图①，当直线PE过点C时，解析式为：y=x-2，
令y=0，得0=x-2．
解得x=2．
∴点E（2，0）．（5分）
∵∠DAB=∠ABC=60°，BD平分∠ABC．
∴∠ADB=180°-60°-30°=90°，
∵EP⊥BD，
∴EP∥AD．
∴∠CEB=∠DAB=∠ABC=60度．
∴△CEB为等边三角形．
∴EB=BC=AD=m．
∵AB=m，
∴AE=m=2，
∴m=4．（7分）

（3）由m=4，可知B（4，0），D（1，），C（3，），
在Rt△BPE中，=t．
∴AE=4-t．（8分）
过F作FG⊥AB于点G．
下面分两种情况：
①点F在线段BC上，如图②．
∵△FEB为等边三角形，
∴FG=BP=t．
∴S=AE•FG=（4-t）•t=-+2t=-（t-）2+（0＜t≤）．（10分）
②点F在线段DC上，如图③，则．
∴S=AE•FG=•（4-t）•=-t+（＜t≤2）（11分）
综合①，②得：当t=时，S最大=．（12分）