Question

如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且保持AD=CE．连接DE、DF、EF．在此运动变化过程中，有下列五个结论：
①△DFE是等腰直角三角形；  ②四边形CDFE不可能为正方形；
③DE长度的最小值为4；     ④四边形CDFE的面积保持不变；
⑤△CDE面积的最大值为8．其中正确结论是    ．

Answer

解答此题的关键是在于判断△DFE是否等腰直角三角形；做常规辅助线，连接CF，由SAS定理可得△CFE≌△ADF，从而可证∠DFE=90°可得DF=EF，可得①△DFE是等腰直角三角形正确；②，再由补割法可证④是正确的．判断③与⑤，①△DFE是等腰直角三角形；可得DE=DF，当DF⊥BC时，DF最小，DE取最小值4，故③错误，△CDE最大的面积等于四边形CDEF的面积减去△DEF的最小面积，由③可知⑤是正确的，个，故①④⑤正确．
解；连接CF．

∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠FCB=∠A=45°，CF=AF=FB，
∵AD=CE，
∴△ADF≌△CEF，
∴EF=DF，∠CFE=∠AFD，
∵∠AFD+∠CFD=90°
∴∠CFE+∠CFD=∠EFD=90°，
∴△EDF是等腰直角三角形，
∴①正确；
当D、E分别为AC，BC的中点时，四边形CDEF是正方形，
因此②错误；
∵△ADF≌△CEF，
∴S△CEF=S△ADF，
∴④是正确的；
∵△DEF是等腰直角三角形，
∴当DE最小时，DF也最小，
即当DF⊥AC时，DE最小，此时DF=BC=4，
∴DE=DF=4，
∴③错误；
当△CDE面积最大时，由④知，此时△DEF的面积最小，此时，
S△CDE=S四边形CEFD-S△DEF=S△AFC-S△DEF=16-8=8，
∴⑤正确．综上所述正确的有①④⑤．
故答案为：①④⑤．