Question

已知：如图，正方形ABCD的边长为2a，H是以BC为直径的半圆O上一点，过H与圆O相切的直线交AB于E，交CD于F．
（1）当点H在半圆上移动时，切线EF在AB、CD上的两个交点也分别在AB、CD上移动（E、A不重合，F、D不重合），试问：四边形AEFD的周长是否也在变化？证明你的结论；
（2）设△BOE的面积为S₁，△COF的面积为S₂，正方形ABCD的面积为S，且S₁+S₂=S，求BE与CF的长．

Answer

（1）根据切线长定理证明周长为定值；
（2）根据面积公式，由S1+S2=S得BE、CF的关系式；证明△EBO∽△OCF得BE、CF的又一关系式．解方程组求解．
【解析】
（1）由题意知，AB、CD、EF都与半圆相切，
∴EH=EB，FH=CF．
∴四边形AEFD的周长=AE+EH+HF+DF+AD=AE+EB+FC+DF+AD=6a．
∴四边形AEFD的周长是定值，没有变化．

（2）∵EO平分∠BEH，FO平分∠CFH，
∴OF⊥EO．
∵∠EOB、∠OFC同为∠FOC的余角，∴∠EOB=∠OFC．
又∠EBO=∠OCF=90°，
∴△EBO∽△OCF．
∴，即EB•CF=OC•OB=a2…①
∵S1+S2=S，
∴OB•BE+OC•CF=•4a2．
即BE+CF=a…②
解①②得BE=a，FC=a；或BE=a，FC=a．