Question

如图，在正方形ABCD内，已知两个动圆⊙O₁与⊙O₂互相外切，且⊙O₁与边AB，AD相切，⊙O₂与边BC，CD相切，若正方形的边长为1，⊙O₁与⊙O₂的半径分别为r₁，r₂．
（1）求r₁和r₂的关系式；
（2）求⊙O₁与⊙O₂的面积之和的最小值．

Answer

（1）根据正方形的性质得AC，AO1，CO2，O1O2，从而得出r1和r2的关系式；
（2）可得出）⊙O1与⊙O2的面积之和，用配方法直接得出=2（r1-）2+3-2，从而得出面积的最小值．
【解析】
（1）在正方形ABCD中，AC=．
AO1=r1，CO2=r2，O1O2=r1+r2．（3分）
∵AC=AO1+CO2+O1O2，
∴r1+r2+r1+r2=．
∴r1+r2==．（6分）

（2）⊙O1与⊙O2的面积之和为：S=π（r12+r22）．
∴=r12+（2--r12）=2r12-2（2-）r1+6-4．（8分）
配方得，=2（r1-）2+3-2（10分）
∴当r1=时，⊙O1与⊙O2是等圆，
其面积最小值为S=π（r12+r22）=（）π．（11分）