Question

将一张矩形纸片沿对角线剪开（如图1），得到两张三角形纸片△ABC、△DEF（如图2），量得他们的斜边长为6cm，较小锐角为30°，再将这两张三角纸片摆成如图3的形状，且点A、C、E、F在同一条直线上，点C与点E重合．△ABC保持不动，OB为△ABC的中线．现对△DEF纸片进行如下操作时遇到了三个问题，请你帮助解决．
（1）将图3中的△DEF沿CA向右平移，直到两个三角形完全重合为止．设平移距离CE为x（即CE的长），求平移过程中，△DEF与△BOC重叠部分的面积S与x的函数关系式，以及自变量的取值范围；
（2）△DEF平移到E与O重合时（如图4），将△DEF绕点O顺时针旋转，旋转过程中△DEF的斜边EF交△ABC的BC边于G，求点C、O、G构成等腰三角形时，△OCG的面积；
（3）在（2）的旋转过程中，△DEF的边EF、DE分别交线段BC于点G、H（不与端点重合）．求旋转角∠COG为多少度时，线段BH、GH、CG之间满足GH²+BH²=CG²，请说明理由．

Answer

（1）根据△DEF与△BOC重叠部分的面积S为三角形与四边形时分别得出S与x的函数关系式，以及自变量的取值范围；
（2）利用△OCG的面积等于△COB面积，进而得出与△ABC的关系求出即可；
（3）利用全等三角形的判定得出△COG≌△MOG，利用勾股定理逆定理得出即可．
【解析】
（1）当0＜x≤3时如图1所示：
∵DE∥AB，∠ABC=90°，
∴∠CME=90°，
在Rt△CME中，∠MCE=30°，
CE=x，
则，
∴，
当3＜x≤6时如图2所示，
∵DE∥AB，∠BAC=60°，
∴∠DEC=60°，
又∵在Rt△ABC中，BO为斜边的中线，
∴BO=AO，
∴∠BOA=∠BAO=60°，
∴△OME为正△，
∴，
综上

（2）若CG=CO=3cm（如图3所示），过G点作GH⊥AC于H
在Rt△CGH中，∠BCA=30°，GH=cm，
∴S△CGO=CO×GH=×3×=cm2，
若GC=GO（如图4所示），过G点作GH⊥CO于H，
∴CH=HO=cm，

在Rt△CGH中，∠BCA=30°，cm，
∴cm2，
若OG=CO=3cm（如图5所示），
在Rt△ABC中，BO为斜边的中线，BO=CO，
则此时点B与点G重合，
∴，
在Rt△ABC中，∠BCA=30°，
∴AB=3cm，BC=3cm，
cm2；

（3）【解析】
旋转45°时，即∠COG=45°满足GH2+BH2=CG2．
理由如下：
过H作MH⊥CB于H，使得MH=BH，连接GM、OM．
∵BO是△ABC的中线，且∠ABC=90°，
∴OC=OB，
∴∠C=∠CBO=30°，
∴∠BOC=120°，
∵∠COG=45°，∠FOD=60°，
∴∠BOD=15°，
∵∠CBO=30°，
∴∠CHO=45°，
∴∠BHO=180°-45°=135°，
∴∠MHO=∠CHO+∠MHC=45°+90°=135°，
∴△BHO≌△MHO（SAS），
∴MO=BO，
∴∠BOD=∠MOH=15°，
∴∠MOG=∠DOF-∠MOD=60°-15°=45°，
∴∠MOG=∠COG=45°，
∴△COG≌△MOG（SAS），
∴CG=MG，
在Rt△MHG中，MH2+GH2=GM2，
∴BH2+GH2=CG2，