Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=8，AC=6，另有一直角梯形DEFH（HF∥DE，∠HDE=90°）的底边DE落在CB上，腰DH落在CA上，且DE=4，∠DEF=∠CBA，AH：AC=2：3
（1）延长HF交AB于G，求△AHG的面积．
（2）操作：固定△ABC，将直角梯形DEFH以每秒1个单位的速度沿CB方向向右移动，直到点D与点B重合时停止，设运动的时间为t秒，运动后的直角梯形为DEFH′（如图）．
探究1：在运动中，四边形CDH′H能否为正方形？若能，请求出此时t的值；若不能，请说明理由．
探究2：在运动过程中，△ABC与直角梯形DEFH′重叠部分的面积为y，求y与t的函数关系．

Answer

（1）由于三角形AHG和ACB相似，可通过相似比求出HG的值，然后根据三角形的面积计算公式即可求出三角形AHG的面积．
（2）①首先四边形CDH′H是个矩形，如果使四边形CDH′H成为正方形，那么需满足的条件是CD=DH′，可先根据AH：AC的值，求出HC的长即H′D的长，然后除以梯形的速度即可求出t的值．
②要分三种情况进行讨论：
一：当E在三角形ABC内部时，即当0≤t≤4时，重合部分是整个直角梯形，因此可通过计算直角梯形的面积得出重合部分的面积．
二：当E在三角形ABC外部，且H′在G点左侧或G点上时，即当4＜t≤5时，重合部分是直角梯形，其面积可用：四边形CBGH的面积一矩形CDH′H的面积来求得．
三：当H′在G点右侧一直到D与B重合的过程中，即当5＜t≤8时，重合部分是个直角三角形．可通过计算这个直角三角形的面积来得出关于S，t的函数关系式．
【解析】
（1）∵AH：AC=2：3，AC=6
∴AH=AC=×6=4
又∵HF∥DE，
∴HG∥CB，
∴△AHG∽△ACB
∴=，即=，
∴HG=
∴S△AHG=AH•HG=×4×=．

（2）①能为正方形
∵HH′∥CD，HC∥H′D，
∴四边形CDH′H为平行四边形
又∠C=90°，
∴四边形CDH′H为矩形
又CH=AC-AH=6-4=2
∴当CD=CH=2时，四边形CDH′H为正方形
此时可得t=2秒时，四边形CDH′H为正方形．
②（Ⅰ）∵∠DEF=∠ABC，
∴EF∥AB
∴当t=4秒时，直角梯形的腰EF与BA重合．
当0≤t≤4时，重叠部分的面积为直角梯形DEFH′的面积．
过F作FM⊥DE于M，=tan∠DEF=tan∠ABC===
∴ME=FM=×2=，HF=DM=DE-ME=4-=
∴直角梯形DEFH′的面积为（4+）×2=
∴y=．
（Ⅱ）∵当4＜t≤5时，重叠部分的面积为四边形CBGH的面积一矩形CDH′H的面积．
而S边形CBGH=S△ABC-S△AHG=×8×6-=
S矩形CDH′H=2t
∴y=-2t．
（Ⅲ）当5＜t≤8时，如图，设H′D交AB于P，
BD=8-t
又=tan∠ABC=
∴PD=DB=（8-t）
∴重叠部分的面积y=S
△PDB=PD•DB
=•（8-t）（8-t）
=（8-t）2=t2-6t+24．
∴重叠部分面积y与t的函数关系式：
y=．