Question

已知：如图，在▱ABCD中，∠ADC、∠DAB的平分线DF、AE分别与线段BC相交于点F、E，DF与AE相交于点G．
（1）求证：AE⊥DF；
（2）若AD=10，AB=6，AE=4，求DF的长．

Answer

（1）根据平行四边形的性质和平行线的性质推出∠ADC+∠DAB=180°，根据角平分线得到∠ADF+∠DAE=（∠ADC+∠DAB）=90°，即可求出结论；
（2）过点D作DH∥AE，交BC的延长线于点H，得到平行四边形AEHD，求出DH=AE=4，EH=AD=10，根据平行四边形的性质和平行线的性质推出DC=FC，AB=EB，求出BF、FE、FH的长，根据勾股定理即可求出答案．
（1）证明：在▱ABCD中AB∥CD，
∴∠ADC+∠DAB=180°．
∵DF、AE分别是∠ADC、∠DAB的平分线，
∴∠ADF=∠CDF=∠ADC，∠DAE=∠BAE=∠DAB，
∴∠ADF+∠DAE=（∠ADC+∠DAB）=90°，
∴∠AGD=90°，
∴AE⊥DF；

（2）【解析】
过点D作DH∥AE，交BC的延长线于点H，
则四边形AEHD是平行四边形，且FD⊥DH．
∴DH=AE=4，EH=AD=10．
在▱ABCD中AD∥BC，
∴∠ADF=∠CFD，∠DAE=∠BEA．
∴∠CDF=∠CFD，∠BAE=∠BEA．
∴DC=FC，AB=EB．
在▱ABCD中，AD=BC=10，AB=DC=6，
∴CF=BE=6，BF=BC-CF=10-6=4．
∴FE=BE-BF=6-4=2，
∴FH=FE+EH=12，
在Rt△FDH中，DF===8．
答：DF的长是8．