Question

在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，且AD=1，AB=2，tan∠DCB=2，对角线AC和BD相交于点O．在等腰直角三角形纸片EBF中，∠EBF=90°，EB=FB．把梯形ABCD固定不动，将三角形纸片EBF绕点B旋转．
（1）如图1，当三角形纸片EBF绕点B旋转到使一边BF与梯形ABCD的边BC在同一条直线上时，线段AF与CE的位置关系是______，数量关系是______；
（2）将图1中的三角形纸片EBF绕点B逆时针继续旋转，旋转角为α（0°＜α＜90°），请你在图2 中画出图形，并判断（1）中的两个结论是否发生变化，写出你的猜想并加以证明；
（3）将图1中的三角形纸片EBF绕点B逆时针旋转到一边BF恰好落在线段BO上时，三角形纸片EBF的另一边EF与BC交于点M，请你在图3中画出图形．
①判断（1）中的两个结论是否发生变化，直接写出你的猜想，不必证明；
②若OF=，求BM的长． 

Answer

（1）根据条件证明△ABF≌△CBE，可得AF=CE，再利用对应角相等，互余关系证明AF⊥CE；
（2）（1）中的两个结论没有发生变化，利用同样的方法证明△ABF≌△CBE，从而可得AF=CE，利用角的相等关系，互余关系可证AF⊥CE；
（3）根据AD∥BC，可证△AOD∽△COB，在Rt△DAB中，由勾股定理求BD，利用相似比求BO，已知OF=，由BF=BO-OF求BF，根据△BEF为等腰直角三角形，得BE=BF，∠3=∠OAB=45°，利用互余关系证明∠1=∠2，从而可证△BME∽△BOA，利用相似比求BM．
【解析】
（1）垂直，相等；

（2）猜想：（1）中的两个结论没有发生变化．
证明：如图2，过D作DG⊥BC于G．
∵∠ABC=90°，
∴DG∥AB．
∵AD∥BC，
∴四边形ABGD为矩形．
∴AB=DG=2，AD=BG=1．
∵tan∠DCB==2，
∴CG===1．
∴CB=AB=2．
∵∠ABC=∠EBF=90°，
∴∠ABC+∠ABE=∠EBF+∠ABE．
∴∠CBE=∠ABF．
在△ABF和△CBE中，
，
∴△ABF≌△CBE．
∴AF=CE，∠2=∠1．
∵∠1+∠3=90°，∠3=∠4，
∴∠2+∠4=90°．
∴∠5=90°．
AF⊥CE；

（3）①猜想：（1）中的两个结论没有发生变化．
②如图，∵AD∥BC，
∴△AOD∽△COB．
∴=．
∵AD=1，BC=2，
∴=．
在Rt△DAB中，BD===．
∴OB=2OD=BD=．
∵OF=，
∴BF=BE=．
∵∠1+∠FBM=90°，∠2+∠FBM=90°，
∴∠1=∠2．
又∵∠3=∠OAB=45°，
∴△BME∽△BOA．
∴=，
∴=，
∴BM=．