Question

如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠ACB=90°，AB=AD，AC=4BC，CD=5，则四边形ABCD的面积为（ ）

A．10
B．8
C．12
D．20

Answer

四边形ABCD图形不规则，根据已知条件，将△ABC绕A点逆时针旋转90°到△ADE的位置，求四边形ABCD的面积问题转化为求梯形ACDE的面积问题；根据全等三角形线段之间的关系，结合勾股定理，可求出梯形上底DE，下底AC，高DF的长，继而求出四边形ABCD的面积．
【解析】
作AE⊥AC，DE⊥AE，两线交于E点，作DF⊥AC，垂足为F点，
∵∠BAD=∠CAE=90°，即∠BAC+∠CAD=∠CAD+∠DAE
∴∠BAC=∠DAE
又∵AB=AD，∠ACB=∠E=90°
∴△ABC≌△ADE（AAS）
∴BC=DE，AC=AE，
设BC=a，则DE=a，DF=AE=AC=4BC=4a，
CF=AC-AF=AC-DE=3a，
在Rt△CDF中，由勾股定理得，
CF2+DF2=CD2，即（3a）2+（4a）2=52，
解得：a=1，
∴S四边形ABCD=S梯形ACDE=×（DE+AC）×DF
=×（a+4a）×4a
=10a2
=10．
故选A．