Question

已知正方形OABC如图放置在平面直角坐标系中，B（4，4）．如图1，若直角MPN的顶点P放置于正方形对角线边AC、OB交点处，直角MPN绕顶点P 旋转，角的两边分别与线段OC、OA交于点M、N（不与点C、O、A重合）．在旋转的过程中，易证：四边形OMPN的面积为定值，且S_{四边形OMPN}=4．
（1）如图2，若直角MPN的顶点P放置于对角线OB上，且=，直角MPN绕顶点P旋转，角的两边分别与线段OC、OA交于点M、N（不与点C、O、A重合）．设CM=a，四边形OMPN的面积为S，则S随a的变化而变化吗？若不变，请求出S的值；若变化，请求出S与a的关系式．
（2）如图3，若直角MPN的顶点P放置于对角线AC上，且=，直角MPN绕顶点P旋转，角的两边分别与线段OC、OA交于点M、N（不与点C、O、A重合）．设CM=a，四边形OMPN的面积为S=______． （直接写出答案，不需证明；若S随a的变化而不变，直接写出S的值；若变化，直接写出S与a的关系式．）

Answer

（1）过点P作PE⊥OC于点E，作PF⊥OA于点F，利用OP平分∠COA，求证矩形EPFO为正方形，可得∠EPM=∠FPN，再求证△EPM≌△FPN，△OPE∽△OBC，利用其对应边成比例即可求得．
（2）根据=，设CM=a，可直接求得四边形OMPN的面积．
证明：（1）过点P作PE⊥OC于点E，作PF⊥OA于点F，
∵OP平分∠COA，
∴PE=PF，
∵∠PEO=∠PFO=∠EOF=90°，
∴∠EPF=90°，四边形EPFO为矩形，
∴矩形EPFO为正方形
∠EPF-∠MPF=∠MPN-∠MPF，
即∠EPM=∠FPN，
∴△EPM≌△FPN，
∴S四边形OMPN=S四边形EPFO=PE2
∵△OPE∽△OBC，
∴，
∴PE=3，
∴S四边形OMPN=S四边形EPFO=9．
（2）S=4a-1．