Question

如图，平面直角坐标系中，抛物线y=-x²+3x+4与x轴交于点A、B（A在左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为点M，对称轴与线段BC交于点N，点P为线段BC上一个动点（与B、C不重合）．
（1）求点A、B的坐标；
（2）在抛物线的对称轴上找一点D，使|DC-DB|的值最大，求点D的坐标；
（3）过点P作PQ∥y轴与抛物线交于点Q，连接QM，当四边形PQMN满足有一组对边相等时，求P点的坐标．

Answer

（1）根据二次函数与图象的交点坐标求法，y=0，求出x即可；
（2）利用轴对称图形的性质可以得出D点坐标的位置，利用D点在直线AC解析式上，即可求出；
（3）利用平行四边形的性质以及等腰梯形性质分别求出即可．
【解析】
（1）∵抛物线y=-x2+3x+4与x轴交于点A、B（A在左侧），
∴抛物线与x轴的交点坐标为：0=-x2+3x+4，
解得：x1=-1，x2=4，
A（-1，0）、B（4，0）；

（2）连接AC并延长交抛物线的对称轴于D，
将A（-1，0），C（0，4）点的坐标代入：Y=kx+b，

解得：b=4，k=4，
求出直线AC解析式：y=4x+4，
将x=1.5，代入y=4x+4得，
y=10，
∴D点坐标（1.5，10）

（3）设P（x，-x+4），Q（x，-x2+3x+4），
①四边形PQMN是平行四边形，此时PQ=MN，
由题意得，=（-x2+3x+4）-（-x+4）
解得：x=2.5，x=1.5（舍去）
此时P（2.5，1.5），
②四边形PQMN是等腰梯形，此时PN=QM进一步得MG=NH（QG、PH是所添的垂线段），
从而得方+x2-3x-4=-x+4-，
解得x=0.5，x=1.5（舍去），
此时P（0.5，3.5），
综合上述两种情况可知：当四边形PQMN满足有一组对边相等时，
P点的坐标为（2.5，1.5）或（0.5，3.5）．