直线l:y=-
x+3分别交x轴、y轴于B、A两点,等腰直角△CDM斜边落在x轴上,且CD=6,如图1所示.若直线l以每秒3个单位向上作匀速平移运动,同时点C从(6,0)开始以每秒2个单位的速度向右作匀速平移运动,如图2所示,设移动后直线l运动后分别交x轴、y轴于Q、P两点,以OP、OQ为边作如图矩形OPRQ.设运动时间为t秒.
(1)求运动后点M、点Q的坐标(用含t的代数式表示);
(2)若设矩形OPRQ与运动后的△CDM的重叠部分面积为S,求S与t的函数关系式,并写出t相应的取值范围;
(3)若直线l和△CDM运动后,直线l上存在点T使∠OTC=90°,则当在线段PQ上符合条件的点T有且只有两个时,求t的取值范围.
考点分析:
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定义:如果一个图形经过分割,能分为4个与自身相似的图形,我们称它为“能四阶自相似分割图形”.如图1,任意△ABC取各边的中点D、E、F,连接DE、EF、DF,分得的△ADF、△BDE、△DEF、△CEF显然都与△ABC相似,则任意△ABC是“能四阶自相似分割图形”.
(1)小明发现:任意矩形ABCD(如图2)也是“能四阶自相似分割图形”.请你利用尺规作图作出分割线.(保留作图痕迹,不要求写作法)
(2)同组的小华思考后提出:能不能设计一种方案,将任意△ABC分割成四个与△ABC相似的小三角形,且其中至少有两个小三角形的相似比不为1?为了研究方便,小华取AB=6,AC=4,BC=5,(如图3)并成功地设计出了分法.请你完成小华的分法,并简单地说明理由.
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如图,平面直角坐标系中,抛物线y=-x
2+3x+4与x轴交于点A、B(A在左侧),与y轴交于点C,抛物线的顶点为点M,对称轴与线段BC交于点N,点P为线段BC上一个动点(与B、C不重合).
(1)求点A、B的坐标;
(2)在抛物线的对称轴上找一点D,使|DC-DB|的值最大,求点D的坐标;
(3)过点P作PQ∥y轴与抛物线交于点Q,连接QM,当四边形PQMN满足有一组对边相等时,求P点的坐标.
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已知正方形OABC如图放置在平面直角坐标系中,B(4,4).如图1,若直角MPN的顶点P放置于正方形对角线边AC、OB交点处,直角MPN绕顶点P 旋转,角的两边分别与线段OC、OA交于点M、N(不与点C、O、A重合).在旋转的过程中,易证:四边形OMPN的面积为定值,且S
四边形OMPN=4.
(1)如图2,若直角MPN的顶点P放置于对角线OB上,且
=
,直角MPN绕顶点P旋转,角的两边分别与线段OC、OA交于点M、N(不与点C、O、A重合).设CM=a,四边形OMPN的面积为S,则S随a的变化而变化吗?若不变,请求出S的值;若变化,请求出S与a的关系式.
(2)如图3,若直角MPN的顶点P放置于对角线AC上,且
=
,直角MPN绕顶点P旋转,角的两边分别与线段OC、OA交于点M、N(不与点C、O、A重合).设CM=a,四边形OMPN的面积为S=______. (直接写出答案,不需证明;若S随a的变化而不变,直接写出S的值;若变化,直接写出S与a的关系式.)
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无锡某校准备组织学生及学生家长到上海进行社会实践活动,为便于管理,所有人员必须乘坐同一列火车;根据报名人数,若都买一等座单程火车票需18060元,若都买二等座单程火车票且花钱最少,则需11850元;已知学生家长与教师的人数之比为2:1,无锡到上海的火车票价格(部分)如下表所示:
运行区间 | 成人票价 | 学生票价 |
上车站 | 下车站 | 一等座 | 二等座 | 二等座 |
无锡 | 上海 | 86(元) | 71(元) | 54(元) |
(1)参加社会实践的老师、家长与学生各有多少人?
(2)由于各种原因,二等座火车票单程只能买x张(x小于参加社会实践的人数),其余的须买一等座火车票,在保证每位参与人员都有座位坐的前提下,请你设计最经济的购票方案,并求出此时购买火车票的总费用(单程)y与x之间的函数关系式.
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如图,电线杆AB铅垂的竖立在坡角为30°的山坡上,太阳光线与水平线成60°时,电线杆AB的影子BC长为4米.
(1)求电线杆AB的长;
(2)同一时刻与AB高度相等的电线杆DE铅垂的竖立在平地上,电线杆DE的影子EF都在平地上,求影子EF的长.
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