Question

如图，已知矩形，在BC上取两点E，F（E在F左边），以EF为边作等边三角形PEF，使顶点P在AD上，PE，PF分别交AC于点G，H．
（1）求△PEF的边长；
（2）在不添加辅助线的情况下，当F与C不重合时，先直接判断△APH与△CFH是如下关系中的哪一种：然后证明你的判断．
①△APH与△CFH全等；
②△APH与△CFH相似；
③△APH与△CFH成中心对称；
④△APH与△CFH成轴对称；
（3）若△PEF的边EF在线段BC上移动．试猜想：PH与BE有何数量关系？并证明你猜想的结论．

Answer

（1）△PEF的高等于矩形的长，过P作PQ⊥BC于Q，利用三角函数即可求解；
（2）根据AD∥BC即可证明两个三角形相似；
（3）根据等角对等边即可证明FC=FH，根据PH+FH=2，BE+EF+FC=3即可求解．
【解析】
（1）过P作PQ⊥BC于Q
∵矩形ABCD∴∠B=90°，即AB⊥BC，又AD∥BC∴
∵△PEF是等边三角形∴∠PFQ=60°在Rt△PQF中，∴PF=2∴△PEF的边长为2． （4分）

（2）判断：△APH∽△CFH∵矩形ABCD∴AD∥BC∴∠2=∠1
又∵∠3=∠4，∴△APH∽△CFH （9分）

（3）猜想：PH与BE的数量关系是：PH-BE=1
证法一：在Rt△ABC中，∴
∴∠1=30°，∵△PEF是等边三角形，∴∠2=60°，PF=EF=2，∵∠2=∠1+∠3，∴∠3=30°
∴∠1=∠3，∴FC=FH，∵PH+FH=2，BE+EF+FC=3，∴PH-BE=1

证法二：在Rt△ABC中，，∴
∴∠1=30°∵△PEF是等边三角形，PE=2，∴∠2=∠4=∠5=60°，∴∠6=90°
在Rt△CEG中，∠1=30°，∴，即
在Rt△PGH中，∠7=30°，∴，∴，∴PH-BE=1
证法三：在Rt△ABC中，，∴，
AC2=AB2+BC2，∴，∵△PEF是等边三角形，∴∠4=∠5=60°
∴∠6=∠8=90°，∴△EGC∽△PGH，∴，∴
①∵∠1=∠1，∠B=∠6=90°，∴△CEG∽△CAB，∴，即，∴
②把②代入①得，，∴PH-BE=1 （14分）