Question

已知抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OB＜OC）是方程x²-10x+16=0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x=-2．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）求此抛物线的表达式；
（3）连接AC、BC，若点E是线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），过点E作EF∥AC交BC于点F，连接CE，设AE的长为m，△CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
（4）在（3）的基础上试说明S是否存在最大值？若存在，请求出S的最大值，并求出此时点E的坐标，判断此时△BCE的形状；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）先解一元二次方程，得到线段OB、OC的长，也就得到了点B、C两点坐标，根据抛物线的对称性可得点A坐标；
（2）把A、B、C三点代入二次函数解析式就能求得二次函数解析式；
（3）易得S△EFF=S△BCE-S△BFE，只需利用平行得到三角形相似，求得EF长，进而利用相等角的正弦值求得△BEF中BE边上的高；
（4）利用二次函数求出最值，进而求得点E坐标．OC垂直平分BE，那么EC=BC，所求的三角形是等腰三角形．
【解析】
（1）解方程x2-10x+16=0得x1=2，x2=8 （1分）
∵点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，且OB＜OC
∴点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，8）
又∵抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=-2
∴由抛物线的对称性可得点A的坐标为（-6，0）（2分）

（2）∵点C（0，8）在抛物线y=ax2+bx+c的图象上
∴c=8，将A（-6，0）、B（2，0）代入表达式，
得：
解得
∴所求抛物线的表达式为y=-x2-x+8（5分）

（3）依题意，AE=m，则BE=8-m，
∵OA=6，OC=8，
∴AC=10
∵EF∥AC
∴△BEF∽△BAC
∴=，即=
∴EF=（6分）
过点F作FG⊥AB，垂足为G，
则sin∠FEG=sin∠CAB=
∴=
∴FG=•=8-m
∴S=S△BCE-S△BFE
=（8-m）×8-（8-m）（8-m）
=（8-m）（8-8+m）
=（8-m）m
=-m2+4m（8分）
自变量m的取值范围是0＜m＜8 （9分）

（4）存在．
理由：∵S=-m2+4m=-（m-4）2+8且-＜0，
∴当m=4时，S有最大值，S最大值=8 （10分）
∵m=4，
∴点E的坐标为（-2，0）
∴△BCE为等腰三角形．