Question

如图，已知抛物线与x轴交于点A（-2，0），B（4，0），与y轴交于点C（0，8）．
（1）求抛物线的解析式及其顶点D的坐标；
（2）设直线CD交x轴于点E．在线段OB的垂直平分线上是否存在点P，使得点P到直线CD的距离等于点P到原点O的距离？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）过点B作x轴的垂线，交直线CD于点F，将抛物线沿其对称轴平移，使抛物线与线段EF总有公共点．试探究：抛物线向上最多可平移多少个单位长度？向下最多可平移多少个单位长度？

Answer

（1）由抛物线过A、B、C三点可求出抛物线表达式；
（2）假设存在，设出P点，解出直线CD的解析式，根据点P到CD的距离等于PO可解出P点坐标；
（3）应分两种情况：抛物线向上或下平移，设出解析式，代入点求出平移的单位长度．
【解析】
（1）设抛物线解析式为y=a（x+2）（x-4）．
把C（0，8）代入，得a=-1．
∴y=-x2+2x+8=-（x-1）2+9，
顶点D（1，9）；（2分）

（2）假设满足条件的点P存在．依题意设P（2，t）．
由C（0，8），D（1，9）求得直线CD的解析式为y=x+8，
它与x轴的夹角为45°．
设OB的中垂线交CD于H，则H（2，10）．
则PH=|10-t|，点P到CD的距离为．
又．（4分）
∴．
平方并整理得：t2+20t-92=0，解之得t=-10±8．
∴存在满足条件的点P，P的坐标为（2，-10±8）．（6分）

（3）由上求得E（-8，0），F（4，12）．
①若抛物线向上平移，可设解析式为y=-x2+2x+8+m（m＞0）．
当x=-8时，y=-72+m．
当x=4时，y=m．
∴-72+m≤0或m≤12．
∴0＜m≤72．（8分）
②若抛物线向下平移，可设解析式为y=-x2+2x+8-m（m＞0）．
由，
有-x2+x-m=0．
∴△=1+4m≥0，
∴m≥-．
∴向上最多可平移72个单位长，向下最多可平移个单位长．（10分）