Question

如图1，在△ABC中，AB=BC=5，AC=6．△ECD是△ABC沿BC方向平移得到的，连接AE．AC和BE相交于点O．
（1）判断四边形ABCE是怎样的四边形，说明理由；
（2）如图2，P是线段BC上一动点（图2），（不与点B、C重合），连接PO并延长交线段AB于点Q，QR⊥BD，垂足为点R．
①四边形PQED的面积是否随点P的运动而发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出四边形PQED的面积；
②当线段BP的长为何值时，△PQR与△BOC相似．

Answer

（1）四边形ABCE是菱形．由平移得到四边形ABCE是平行四边形，又AB=BC，可以推出四边形ABCE是菱形；
（2）①四边形PQED的面积不发生变化．根据菱形的性质和已知条件可以求出菱形的面积，过A作AH⊥BD于H，再根据三角形的面积公式可以求出AH，由菱形的对称性知△PBO≌△QEO，所以BP=QE，现在可以得到S四边形PQED=S△BED，而S△BED的面积可以求出，所以四边形PQED的面积不发生变化．
②如图2，当点P在BC上运动，使△PQR与△COB相似时，∵∠2是△OBP的外角，∴∠2＞∠3，∴∠2不与∠3对应，∴∠2与∠1对应，即∠2=∠1，∴OP=OC=3，过O作OG⊥BC于G，则G为PC的中点，△OGC∽△BOC，根据相似三角形的对应线段成比例可以求出CG，而PB=BC-PC=BC-2CG，根据这个等式就可以求出BP的长．
【解析】
（1）四边形ABCE是菱形．（1分）
∵△ECD是由△ABC沿BC平移得到的，
∴EC∥AB，且EC=AB，
∴四边形ABCE是平行四边形，（3分）
又∵AB=BC，
∴四边形ABCE是菱形；（4分）

（2）①四边形PQED的面积不发生变化．（5分）
方法一：∵ABCE是菱形，
∴AC⊥BE，OC=AC=3，
∵BC=5，
∴BO=4，
过A作AH⊥BD于H，（如图1）．
∵S△ABC=BC×AH=AC×BO，
即：×5×AH=×6×4，
∴AH=．（6分）
或∵∠AHC=∠BOC=90°，∠BCA公用，
∴△AHC∽△BOC，
∴AH：BO=AC：BC，
即：AH：4=6：5，
∴AH=．6分）
由菱形的对称性知，△PBO≌△QEO，
∴BP=QE，
∴S四边形PQED=（QE+PD）×QR=（BP+PD）×AH=BD×AH
=×10×=24．（8分）
方法二：由菱形的对称性知，△PBO≌△QEO，
∴S△PBO=S△QEO，（6分）
∵△ECD是由△ABC平移得到的，
∴ED∥AC，ED=AC=6，
又∵BE⊥AC，
∴BE⊥ED，（7分）
∴S四边形PQED=S△QEO+S四边形POED=S△PBO+S四边形POED=S△BED
=×BE×ED=×8×6=24．（8分）

②方法一：如图2，当点P在BC上运动，使△PQR与△COB相似时，
∵∠2是△OBP的外角，
∴∠2＞∠3，
∴∠2不与∠3对应，
∴∠2与∠1对应，
即∠2=∠1，
∴OP=OC=3（9分）
过O作OG⊥BC于G，则G为PC的中点，
∴△OGC∽△BOC，（10分）
∴CG：CO=CO：BC，
即：CG：3=3：5，
∴CG=，（11分）
∴PB=BC-PC=BC-2CG=5-2×=．（12分）

方法二：如图3，当点P在BC上运动，使△PQR与△COB相似时，
∵∠2是△OBP的外角，
∴∠2＞∠3，
∴∠2不与∠3对应，
∴∠2与∠1对应，（9分）
∴QR：BO=PR：OC，即：：4=PR：3，
∴PR=，（10分）
过E作EF⊥BD于F，设PB=x，则RF=QE=PB=x，
DF==，（11分）
∴BD=PB+PR+RF+DF=x++x+=10，x=．（12分）

方法三：如图4，若点P在BC上运动，使点R与C重合，
由菱形的对称性知，O为PQ的中点，
∴CO是Rt△PCQ斜边上的中线，
∴CO=PO，（9分）
∴∠OPC=∠OCP，
此时，Rt△PQR∽Rt△CBO，（10分）
∴PR：CO=PQ：BC，
即PR：3=6：5，
∴PR=（11分）
∴PB=BC-PR=5-=．（12分）