Question

在一次研究性学习活动中，某小组将两张互相重合的正方形纸片ABCD和EFGH的中心O用图钉固定住，保持正方形ABCD不动，顺时针旋转正方形EFGH，如图所示．
（1）小组成员经观察、测量，发现在旋转过程中，有许多有趣的结论．下面是旋转角度小于90°时他们得到的一些猜想：
①ME=MA；
②两张正方形纸片的重叠部分的面积为定值；
③∠MON保持45°不变．
请你对这三个猜想作出判断（正确的在序号后的括号内打上“√”，错误的打上“×”）：
①（ ）；②（ ）；③（ ）
（2）小组成员还发现：（1）中的△EMN的面积S随着旋转角度∠AOE的变化而变化．请你指出在怎样的位置时△EMN的面积S取得最大值．（不必证明）
（3）上面的三个猜想中若有正确的，请选择其中的一个给予证明；若都是错误的，请选择其一说明理由．

Answer

根据正方形的性质和旋转的性质可知，∠OAE=∠OEA，∠MAO=∠MEO=45°，∴∠MAE=∠MEA，所以ME=MA；∠MOE+∠NOE=∠AOD=×90°=45°，即∠MON保持45°不变．并且当∠AOE=45°时，△EMN的面积S取得最大值．
【解析】
（1）①（√）；②（×）；③（√）．

（2）当∠AOE=45°时，△EMN的面积S取得最大值．

（3）证明：对于猜想①，连接OA、OE、AE、OD、ED．由已知得OA=OE，
∴∠OAE=∠OEA．
又∵∠OAM=∠OEM=45°，
∴∠OAE-∠OAM=∠OEA-∠OEM，即∠MAE=∠MEA．
∴ME=MA．
对于猜想③，证得OM平分∠EOA，同理ON平分∠DOE，
∴∠MOE+∠NOE=∠AOD=×90°=45°，即∠MON保持45°不变．