Question

已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）过点A（-3，0），B（1，0），C（0，3）三点
（1）求抛物线的解析式；
（2）若抛物线的顶点为P，求∠PAC正切值；
（3）若以A、P、C、M为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标．

Answer

（1）利用待定系数法将A（-3，0），B（1，0），C（0，3）三点代入y=ax2+bx+c即可求出；
（2）利用配方法求出二次函数的顶点坐标，进而求出PA，PC，AC，从而得出∠PAC正切值；
（3）求出直线AC的解析式，直线AP的解析式，直线PC的解析式，当AC是平行四边形的一条对角线时，当PC是平行四边形的一条对角线时，当AP是平行四边形的一条对角线时分别得出．
【解析】
（1）由题意得：，
解得：，
∴y=-x2-2x+3；

（2）y=-x2-2x+3=-（x+1）2+4，
∴P（-1，4），
∴，，，
∵PA2=PC2+AC2
∴∠PCA=90°，
∴；

（3）∵直线AC的解析式是：y=x+3，
直线AP的解析式是：y=2x+6，
直线PC的解析式是：y=-x+3，
当AC是平行四边形的一条对角线时：
PC∥AM，AP∥CM，
∴利用两直线平行k的值相等，即可得出：
直线MC的解析式是：y=2x+3，
直线AM的解析式是：y=-x-3，
∴M（-2，-1），
当PC是平行四边形的一条对角线时：同理可得∴M（2，7），
当AP是平行四边形的一条对角线时：∴M（-4，1），
∴M（-2，-1）或M（2，7）或M（-4，1）．