Question

已知二次函数y=x²+bx+c与x轴交于A（-1，0）、B（1，0）两点．
（1）求这个二次函数的关系式；
（2）若有一半径为r的⊙P，且圆心P在抛物线上运动，当⊙P与两坐标轴都相切时，求半径r的值．
（3）半径为1的⊙P在抛物线上，当点P的纵坐标在什么范围内取值时，⊙P与y轴相离、相交？

Answer

（1）把A（-1，0）、B（1，0）代入y=x2+bx+c得到一个关于b、c的方程组，求出方程组的解即可得出二次函数的关系式；
（2）设点P坐标为（x，y），则当⊙P与两坐标轴都相切时，有y=±x，把y=±x分别代入由（1）求出的二次函数的关系式，求出x的值，即可得到半径r的值；
（3）设点P坐标为（x，y），先求出⊙P与y轴相切时x=±1，再根据圆与直线的位置关系的性质（r＜d时相离，r＞d相交）判断即可．
【解析】
（1）把A（-1，0）、B（1，0）代入y=x2+bx+c得：

解得
∴二次函数的关系式是y=x2-1，
答：这个二次函数的关系式是y=x2-1．

（2）设点P坐标为（x，y），则当⊙P与两坐标轴都相切时，有y=±x．
由y=x，得x2-1=x，
即x2-x-1=0，
解得x=．
由y=-x，得x2-1=-x，
即x2+x-1=0，
解得x=．
∴⊙P的半径为r=|x|=，
答：半径r的值是为．

（3）设点P坐标为（x，y），
∵⊙P的半径为1，
∴当y=0时，x2-1=0，
解得：x=±1，
即⊙P与y轴相切，
又当x=0时，y=-1，
∴当y＞0或y＜-1时，⊙P与y相离；
当-1≤y＜0时，⊙P与y相交，
答：半径为1的⊙P在抛物线上，当点P的纵坐标在y＞0或y＜-1范围内取值时，⊙P与y轴相离；在-1≤y＜0范围内取值时，⊙P与y轴相交．