Question

如图1，四边形ABCD是正方形，点E和点F分别在CD和DA上，且∠CBF=∠EFB
（1）小方同学发现，当E为CD的中点时，tan∠ABF=，当DE=CD时，tan∠ABF=，当DE=CD时，tan∠ABF=，那么当DE=CD时，tan∠ABF=______．
（2）如图2，当DE=CD时，tan∠ABF=______．证明你的猜测的正确性．

Answer

（1）观察题干给出的信息可以发现：可以发现当DE=CD时，tan∠ABF=，根据此规律即可求得当DE=CD时，tan∠ABF的值；
（2）作BM⊥EF于点M，连接BE．分别求证△AFB≌△MFB，△BCE≌△BME，得出AF=FM，AB=BM，EC=EM，
然后设DE=1，FM=a，利用勾股定理即可求得答案．
【解析】
（1）当E为CD的中点时，即当DE=CD时，tan∠ABF==；
当DE=CD时，tan∠ABF==；
当DE=CD时，tan∠ABF==；
…
可以发现当DE=CD时，tan∠ABF=；

那么当DE=CD时，tan∠ABF==．
故答案为：．

（2）．
作BM⊥EF于点M，连接BE．
∵AD∥BC，
∴∠AFB=∠FBC，
又∠EFB=∠FBC，
∴∠AFB=∠BFM，
∠A=∠FMB=90°，BF=BF，
∴△AFB≌△MFB，
∴AF=FM，AB=BM，
∵BM=AB=BC，∠BME=∠C=90°，BE=BE
∴△BCE≌△BME，
∴EC=EM，
设DE=1，FM=a，则CE=k，
则FD=1+k-a，ME=CE=k
勾股定理得：DE2+FD2=EF2，
∴12+（1+k-a）2=（a+k）2
解得：a=
∴tan∠ABF=．