Question

如图，矩形 A₁B₁C₁D₁的边长 A₁D₁=8，A₁B₁=6，顺次连接 A₁B₁C₁D₁各边的中点得到 A₂B₂C₂D₂，顺次连接A₂B₂C₂D₂各边的中点得到A₃B₃C₃D₃，…，依此类推．
（1）求四边形A₂B₂C₂D₂的边长，并证明四边形A₂B₂C₂D₂是菱形；
（2）四边形A₁₀B₁₀C₁₀D₁₀是矩形还是菱形？A₁₀B₁₀=？（第（2）问写出结果即可）

Answer

（1）由已知，先连接A1C1，B1D1，根据三角形中位线的性质，得A2B2=C2D2=A1C1，A2D2=B2C2=B1D1，又由矩形的性质对角线相等，推出四边形A2B2C2D2是菱形．由勾股定理求出对角线的长，从而求出四边形A2B2C2D2的边长．
（2）通过观察计算发现规律，An+2Bn+2Cn+2Dn+2与AnBnCnDn相似，且An+2Bn+2Cn+2Dn+2的边长是AnBnCnDn边长的一半，例如，A3B3C3D3的边长是A1B1C1D1边长的一半，A4B4C4D4的边长是A2B2C2D2边长的一半…，从而得出
A10B10C10D10也是菱形．
【解析】
连接A1C1，B1D1，
已知A1B1C1D1是矩形，∴A1C1=B1D1，
又A2，B2，C2，D2是中点，根据三角形中位线性质得：
A2B2=C2D2=A1C1，A2D2=B2C2=B1D1，
∴A2B2=C2D2=A2D2=B2C2，
∴四边形A2B2C2D2是菱形．
在直角三角形A1B1C1中，根据勾股定理得：
A1C1===10，
∴A2B2=A1C1=×10=5．
所以四边形A2B2C2D2的边长为5．

（2）通过观察分析总结各个图形有如下关系：
An+2Bn+2Cn+2Dn+2与AnBnCnDn相似，且
An+2Bn+2Cn+2Dn+2的边长是AnBnCnDn边长的一半，
例如，A3B3C3D3的边长是A1B1C1D1边长的一半，A4B4C4D4的边长是A2B2C2D2边长的一半…
因此A10B10C10D10的边长是A2B2C2D2 的=，
所以A10B10C10D10也是菱形． A10B10==．