Question

如图，过点A（1，0）作x轴的垂线与直线y=x相交于点B，以原点O为圆心、OA为半径的圆与y轴相交于点C、D，抛物线y=x²+px+q经过点B、C．
（1）求p、q的值；
（2）设抛物线的对称轴与x轴相交于点E，连接CE并延长与⊙O相交于点F，求EF的长；
（3）记⊙O与x轴负半轴的交点为G，过点D作⊙O的切线与CG的延长线相交于点H．点H是否在抛物线上？说明理由．

Answer

（1）根据点A（1，0）作x轴的垂线与直线y=x相交于点B，从而求出B点的坐标，以及C点的坐标，将B，C分别代入即可求出p，q的值；
（2）运用配方法求出二次函数的顶点坐标，再利用勾股定理求出CE的长，由Rt△CFD∽Rt△COE，求出EF的长；
（3）首先求出直线CG为：y=-x-1，进而求出点H的坐标为（-2，1）．代入解析式即可．
【解析】

（1）∵点A（1，0）作x轴的垂线与直线y=x相交于点B点，
∴B（1，1），
∵以原点O为圆心、OA为半径的圆与y轴相交于点C、点A（1，0），
∴C（0，-1）．
代入y=x2+px+q，得，p=1，q=-1．

（2）由y=x2+x-1=（x+）2-，
得CE==．
连接DF．由Rt△CFD∽Rt△COE，
得=．
∴CF=．
∴EF=CF-CE=．

（3）设过点C、G的直线为y=kx+b．
将点C（0，-1），G（-1，0）代入，
得直线CG为：y=-x-1．
过点D作⊙O的切线与CG的延长线相交于点H．
∵DH平行于x轴，∴点H的纵坐标为1．
将y=1代入y=-x-1，得x=-2．
∴点H的坐标为（-2，1）．
又当x=-2时，y=x2+x-1=1，
∴点H在抛物线y=x2+x-1上．