Question

如图，CD是⊙O的直径，BD是弦，延长DC到A，使∠ABD=120°，若添加一个条件，使AB是⊙O的切线，则下列四个条件：①AC=BC；②AC=OC；③OC=BC；④AB=BD中，能使命题成立的有    （只要填序号即可）．

Answer

经过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线，分析每种情况后，能得到经过半径的外端且垂直于半径的直线就是圆的切线．
【解析】
连接圆心和B点，OC=OB

①∵AC=BC，
∴∠BCO=∠CBO=2∠A，
∵∠ABC=∠BDC，
∴∠ABO=90°，
∴①正确；
②证明：过A做圆的切线AB'切圆于B'，
连接OB'，
所以OB'⊥AB'，又CA=CO  所以B'C是直角△OB'A斜边上的中线，
∴B'C=OC=CA=OB'，所以∠OCB'=60°，又B'C=CA，所以∠CB'A=30°，
所以∠AB'D=∠CB'A+∠DB'C=120°，
已知在圆上能使∠AB'D=120°的点只有一个，所以B'点就是B点
故AB是圆的切线；

∵AC=OC，
∴AC=OB，
∴∠ABO=90°，
故②正确；
③∵OC=BC，
∴△OBC=60°，
∵∠BCO=∠CBO=2∠A，
∴∠ABO=90°，
∴③正确；
④∵AB=BD，
∴∠A=∠D=∠OBD，
∵∠CBD=90°
∴∠ABO=90°，
∴④正确．
故答案为：①②③④．