Question

如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=x+2与x轴、y轴交于A、B两点，动点P从A出发沿射线AO运动，动点Q同时从点B出发沿OB的延长线运动，点P、Q的运动速度均为每秒一个单位长．连接PQ交直线AB于D．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）设点P的运动时间为t秒，试求△PBQ的面积S与t的关系式．
（3）是否存在合适的t值，使△PBQ与△AOB的面积相等？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
（4）过P作PE⊥AB与E，DE的长度是固定值还是不确定的？直接写出你的判断结果不必说明理由．

Answer

（1）令x=0，或y=0．即可得到B（0，2）；A（-2，0）；
（2）分类讨论：当0≤t≤2，或t＞2，利用坐标表示有关线段长，然后根据三角形的面积公式得到关系式；
（3）DE的长度为定值．
【解析】
如图：
（1）由x=0，y=2，B（0，2）；
由y=0，x=-2，A（-2，0）；（3分）

（2）当0≤t≤2时，AP=t，PO=2-t，S=；
当t＞2时，AP=t，PO=t-2，S=；（6分）

（3）存在．
S△AOB==2．
当=2时，t2-2t+4=0无解．
当=2时，t2-2t-4=0，t=，t=符合题意．
∴当t=时，S△AOB=S△PCQ．（9分）

（4）DE的长度为定值，且DE=
理由如下：过P作PF∥OB交AB于F，
∵AO=BO=2，x轴⊥y轴．
∴AB=，且△AOB、△APE、△FPA均是等腰直角三角形．
∵AP=PF=BQ，
∴△PFD≌△QBD．
∴D是BF的中点．
∵PE⊥AB，
∴E是AF的中点，
∴DE=．
P在原点的右侧时类似．仍有DE=．（12分）