Question

已知：如图，⊙O的半径OC垂直弦AB于点H，连接BC，过点A作弦AE∥BC，过点C作CD∥BA交EA延长线于点D，延长CO交AE于点F．
（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）若BC=5，AB=8，求OF的长．

Answer

（1）根据平行线的性质和垂直的定义推出∠DCF=90°，根据切线的判定即可判断；
（2）根据垂径定理得到AH=BH=3，根据勾股定理求出CH，证△HAF≌△HBC，得出FH=CH=3，CF=6，连接BO，设BO=x，则OC=x，
OH=x-3，由勾股定理得到42+（x-3）2=x2，求出方程的解，就能求出答案．
（1）证明：∵OC⊥AB，CD∥BA，
∴∠DCF=∠AHF=90°，
∴CD为⊙O的切线．

（2）【解析】
∵OC⊥AB，AB=8，
∴AH=BH==4，
在Rt△BCH中，∵BH=4，BC=5，
由勾股定理得：CH=3，
∵AE∥BC，
∴∠B=∠HAF，
∵∠BHC=∠AHF，BH=AH，
∴△HAF≌△HBC，
∴FH=CH=3，CF=6，
连接BO，设BO=x，则OC=x，OH=x-3．
在Rt△BHO中，由勾股定理得：42+（x-3）2=x2，
解得，
∴，
答：OF的长是．