Question

如图（1），小强将一张直角三角形纸片ABC沿斜边上的中线CD剪开成△AC₁D₁和△BC₂D₂．
（1）将图（1）中的△AC₁D₁（△ACD）纸片沿CD翻折，点A落在点A₁处，CA₁恰好与AB垂直（如图（2）），求tanA的值；
（2）将图（1）中的△AC₁D₁纸片沿直线D₂B（AB）方向平移（点A、D₂、D₁、B在同一直线上），C₁D₁与BC₂交于点E，AC₁与C₂D₂交于点F（如图（3）），求证：D₁E=D₂F．

Answer

（1）根据CD是Rt△ABC斜边上的中线由直角三角形斜边上中线的性质可得到∠A=∠ACD，再根据△A1CD由△ACD翻折而成可得到∠ACD=∠A1CD，进而可得出∠A的度数，再根据特殊角的三角函数值即可求解；
（2）由图（1）和（3）知，C1D1=C2D2=CD=AD=AD1=BD2，再根据图形平移的性质可得到C1D1∥C2D2，由平行线的性质即可得到∠AFD2=∠C1∠BED1=∠C2，进而可得出结论．
【解析】
（1）如图（1）和（2），
∵CD是Rt△ABC斜边上的中线，
∴CD=AD，
∴∠A=∠ACD，
∵△A1CD由△ACD翻折而成，
∴∠ACD=∠A1CD，
又∵CA1⊥AB，
∴∠A+∠ACD+∠DCA1=3∠A=90°，
∴∠A=30°，
tanA=；

（2）由图（1）和（3）知，C1D1=C2D2=CD=AD=AD1=BD2，
∴∠FAD2=∠C1，∠B=∠C2，AD2=AD1-D1D2=BD2-D1D2=BD1，
由平移性质得C1D1∥C2D2，
∴∠AFD2=∠C1∠BED1=∠C2，
∴D2F=AD2，BD1=D1E，
∴D1E=D2F．