Question

如图，四边形ABCD是正方形，点E、F分别在BC和CD上，且BE=DF=AB．小松同学在作题时发现，当n=2时，sin∠EAF=，当n=3时，sin∠EAF=，当n=4时，sin∠EAF=，当n=5时，sin∠EAF=．
（1）当BE=DF=AB时，sin∠EAF=______．
（2）证明你上面的结论．

Answer

（1）将将化为，根据分子及分母的特点可得出当BE=DF=AB时，sin∠EAF的值．
（2）设BE=1，则DF=1，CE=CF=n-1，先根据S△AEF=S正方形ABCD-S△ABE-S△ADF-S△CEF求出一个值，然后在Rt△AFM中在表示出一个值，两者相等即可得出结论．
【解析】
（1）将各三角函数值排列出来，将化为，
从而观察可得出结论，当BE=DF=AB时，sin∠EAF=．

（2）证明：设BE=1，则DF=1，CE=CF=n-1，

连接EF，作FM⊥AE于点M，
则S△AEF=S正方形ABCD-S△ABE-S△ADF-S△CEF，
=n2-×1×n-×1×n-×（n-1）2
=（n2-1）．
在Rt△AFM中，FM=AF•sin∠EAF，AE=AF=
∴S=（1+n2）sin∠EAF
∴（1+n2）sin∠EAF=（n2-1）
∴sin∠EAF=．