Question

如图，二次函数y=-x²+bx+c与x轴交于点B和点A（-1，0），与y轴交于点C，与一次函数y=x+a交于点A和点D．
（1）求出a、b、c的值；
（2）若直线AD上方的抛物线存在点E，可使得△EAD面积最大，求点E的坐标；
（3）点F为线段AD上的一个动点，点F到（2）中的点E的距离与到y轴的距离之和记为d，求d的最小值及此时点F的坐标．

Answer

（1）根据图形可以看出点C的坐标为（0，4），点B的坐标为（4，0），分别代入一次函数和二次函数的解析式中，即可得出a、b、c的值；
（2）设点E的横坐标为m，则可得出点E的纵坐标为-m2+3m+4．过点E作x轴的垂线l，交x轴于点G，交AD于点H，则点H的坐标为（m，m+1）．过点D作l的垂线，垂足为T；联立直线方程和二次函数方程，即可得出D的坐标，再根据S△AED=S△AEH+S△HED，得出含m的函数，利用a的取值范围，可知，当m=1时，即可得出最大值，从而可得出E的坐标；
（3）过A作y轴的平行线AS，过F作FG⊥y轴交AS于点M，过F作FN⊥x轴于N，结合已知，可得出FM=FN，即有d=FE+FM-1=FE+FN-1，可知当N、F、E所在直线与x轴垂直时，d=FE+FN-1最小，即可得出F的坐标．
【解析】
（1）a=1；b=3；c=4．（解题过程略）

（2）设点E的横坐标为m，则点E的纵坐标为-m2+3m+4．过点E作x轴的垂线l，交x轴于点G，交AD于点H，则点H的坐标为（m，m+1）．过点D作l的垂线，垂足为T．
将y=x+1与y=-x2+3x+4联立组成方程组，解得点D的坐标为（3，4）．
所以S△AED=S△AEH+S△HED=EH×AG+EH×DT=EH（AG+DT）=（-m2+3m+4-m-1）×5=-（m-1）2+10
∵a=＜0，∴S△AED有最大值．当m=1时，最大值为10，此时点E的坐标为（1，10）．

（3）过A作y轴的平行线AS，过F作FG⊥y轴交AS于点M，过F作FN⊥x轴于N，
∵点D的坐标为（3，4），点A坐标为（-1，0）
∴∠DAB=45°∴AD平分∠SAB，∴FM=FN
∴d=FE+FM-1=FE+FN-1
显然，当N、F、E所在直线与x轴垂直时，d=FE+FN-1最小，最小值为6-1=5．
此时点F的横坐标为1，代入y=x+1得F点的坐标为（1，2）．