Question

如图，点P在双曲线y=上，以P为圆心的⊙P与两坐标轴都相切，E为y轴负半轴上的一点，PF⊥PE交x轴于点F，则OF-OE的值是    ．

Answer

利用P点在双曲线y=上且以P为圆心的⊙P与两坐标轴都相切求出P点，再利用向量的垂直时的性质列出OE与OF之间的关系即可．
作过切点的半径，构造全等三角形，寻找与结论或条件中有关联的等量线段，从而逐步探究未知结果．
【解析】
法一：设E（0．y），F（x，0）其中y＜0，x＞0
∵点P在双曲线y=上，以P为圆心的⊙P与两坐标轴都相切
∴P（，）
又∵PF⊥PE
∴由向量垂直性质可得×（-y）+×（-x）=0
∴x+y=2
又∵OE=|y|=-y，OF=x
∴OF-OE=x+y=2．
法二：设⊙P与x和y轴分别相切于点A和点B，连接PA、PB．则PA⊥x轴，PB⊥y轴．并设⊙P的半径为R．

∴∠PAF=∠PBE=∠APB=90°，
∵PF⊥PE，
∴∠FPA=∠EPB=90°-∠APE，
又∵PA=PB，
∴△PAF≌△PBE（ASA），
∴AF=BE
∴OF-OE=（OA+AF）-（BE-OB）=2R，
∵点P的坐标为（R，R），
∴R=，
解得R=或-（舍去），
∴OF-OE=2．
故答案为：2．