Question

如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，C为BD弧的中点，AC、BD交于点E．
（1）求证：△CBE∽△CAB；
（2）若S_△CBE：S_△CAB=1：4，求sin∠ABD的值．

Answer

（1）利用圆周角定理得出∠DBC=∠BAC，根据两角对应相等得出两三角形相似直接证明即可；
（2）利用相似三角形的性质面积比等于相似比的平方得出AC：BC=BC：EC=2：1，再利用三角形中位线的性质以及三角函数知识得出．
（1）证明：∵点C为弧BD的中点，∴∠DBC=∠BAC，
在△CBE与△CAB中；
∠DBC=∠BAC，∠BCE=∠ACB，
∴△CBE∽△CAB．

（2）【解析】
连接OC交BD于F点，则OC垂直平分BD
∵S△CBE：S△CAB=1：4，△CBE∽△CAB，
∴AC：BC=BC：EC=2：1，
∴AC=4EC，
∴AE：EC=3：1，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD∥OC，则AD：FC=AE：EC=3：1，
设FC=a，则AD=3a，
∵F为BD的中点，O为AB的中点，
∴OF是△ABD的中位线，则OF=AD=1.5a，
∴OC=OF+FC=1.5a+a=2.5a，则AB=2OC=5a，
在Rt△ABD中，sin∠ABD==．