Question

如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于点B、C；抛物线y=-x²+bx+c经过B、C两点，并与x轴交于另一点A．
（1）求该抛物线所对应的函数关系式；
（2）设P（x，y）是（1）所得抛物线上的一个动点，过点P作直线l⊥x轴于点M，交直线BC于点N．
①若点P在第一象限内．试问：线段PN的长度是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此时x的值；若不存在，请说明理由；
②求以BC为底边的等腰△BPC的面积．

Answer

（1）利用一次函数与坐标轴坐标求法，得出B、C两点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式．
（2）利用二次函数最值求法不难求出，再利用三角形面积之间的关系，可求出等腰△BPC的面积
【解析】
（1）由于直线y=-x+3经过B、C两点，
令y=0得x=3；令x=0，得y=3，
∴B（3，0），C（0，3），
∵点B、C在抛物线y=-x2+bx+c上，于是得，
解得b=2，c=3，
∴所求函数关系式为y=-x2+2x+3；

（2）①∵点P（x，y）在抛物线y=-x2+2x+3上，
且PN⊥x轴，
∴设点P的坐标为（x，-x2+2x+3），
同理可设点N的坐标为（x，-x+3），
又点P在第一象限，
∴PN=PM-NM，
=（-x2+2x+3）-（-x+3），
=-x2+3x，
=，
∴当时，
线段PN的长度的最大值为．
②【解析】

由题意知，点P在线段BC的垂直平分线上，
又由①知，OB=OC，
∴BC的中垂线同时也是∠BOC的平分线，
∴设点P的坐标为（a，a），
又点P在抛物线y=-x2+2x+3上，于是有a=-a2+2a+3，
∴a2-a-3=0，
解得，（10分）
∴点P的坐标为：或，
若点P的坐标为，此时点P在第一象限，
在Rt△OMP和Rt△BOC中，，
OB=OC=3，
S△BPC=S四边形BOCP-S△BOC=2S△BOP-S△BOC=，
=，
=，
若点P的坐标为，此时点P在第三象限，
则S△BPC=S△BOP+S△COP+S△BOC=，
===，