Question

如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，B′为CD边上的点，B′C=3．将纸片沿某条直线折叠，使点B落在点B′处，点A的对应点为A′，折痕分别与AD，BC边交于点M，N．
（1）求BN的长；
（2）求四边形ABNM的面积．

Answer

（1）根据折叠的性质得出AM=A′M，BN=B′N，BN=B′N=x，则CN=9-x，再利用勾股定理求出即可；
（2）首先求出NC的长，即可得出BN，利用角相等三角函数值就相等，即可求出AM，即可得出答案．
【解析】
如图．
（1）由题意，点A与点A′，
点B与点B′分别关于直线MN对称，
∴AM=A′M，BN=B′N．
设BN=B′N=x，则CN=9-x．
∵正方形ABCD，
∴∠C=90°．
∴CN2+B′C2=B′N2．
∵B′C=3，
∴（9-x）2+32=x2．
解得x=5．
∴BN=5．

（2）【解析】
∵正方形ABCD，
∴AD∥BC，∠A=90°．
∵点M，N分别在AD，BC边上，
∴四边形ABNM是直角梯形．
∵BN=B′N=5，BC=9，
∴NC=4．
∴，．
∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠3=∠1．
∴sin∠3=sin∠1=，
在Rt△DB′P中，∵∠D=90°，
DB′=DC-B′C=6，，
∴PB′=，
∵A′B′=AB=9，
∴A′P=A′B′-PB′=，
∵∠4=∠3，
∴tan∠4=tan∠3=，
在Rt△A′MP中，∵∠A′=∠A=90°，
A′P=，tan∠4==，
∴A'M=2．
∴S梯形ABNM=（AM+BN）×AB=（2+5）×9=．