Question

如图，已知正方形ABCD的边长为6，以AB为直径的⊙O交对角线AC于点F，E是⊙O上一点．
（1）求∠AEF的度数；
（2）求图中阴影部分的面积；
（3）若AE=5，求∠AFE的正弦值．

Answer

（1）利用圆周角定理直接得出答案；
（2）利用S阴影=S△ABC-S△AOF-S扇形OBF进而得出答案；
（3）利用三角函数关系得出Sin∠AFE=Sin∠ABE进而求出答案．
【解析】
（1）连接OF．∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，
∴∠CAB=45°，
∵OF=OA，∠AFO=∠CAB=45°，
∴∠AOF=90°，
∴∠AEF=∠AOF=45°；

（2）∵AB=BC=6，
∴OF=OA=r=3，∠FOB=∠AOF=90°，
∴S阴影=S△ABC-S△AOF-S扇形OBF=AB×BC-AO×OF-，
=×62-×32-，
=；

（3）连接BE，可得∠AFE=∠ABE
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∴sin∠AFE=sin∠ABE=．