Question

把Rt△ABC和Rt△DEF按如图（1）摆放（点C与E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上．已知：∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，AC=8cm，BC=6cm，EF=10cm．如图（2），△DEF从图（1）的位置出发，以1cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△ABC的顶点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速移动；当点P移动到点B时，点P停止移动，△DEF也随之停止移动．DE与AC交于点Q，连接PQ，设移动时间为t（s）．
（1）用含t的代数式表示线段AP和AQ的长，并写出t的取值范围；
（2）连接PE，设四边形APEQ的面积为y（cm²），试探究y的最大值；
（3）当t为何值时，△APQ是等腰三角形．

Answer

（1）根据题意以及直角三角形性质表达出CQ、AQ，从而得出结论，
（2）作PG⊥x轴，将四边形的面积表示为S△ABC-S△BPE-S△QCE即可求解，
（3）根据题意以及三角形相似对边比例性质即可得出结论．
（1）【解析】
AP=2t
∵∠EDF=90°，∠DEF=45°，
∴∠CQE=45°=∠DEF，
∴CQ=CE=t，
∴AQ=8-t，
t的取值范围是：0≤t≤5；

（2）过点P作PG⊥x轴于G，可求得AB=10，SinB=，PB=10-2t，EB=6-t，
∴PG=PBSinB=（10-2t）
∴y=S△ABC-S△PBE-S△QCE==
∴当（在0≤t≤5内），y有最大值，y最大值=（cm2）

（3）若AP=AQ，则有2t=8-t解得：（s）
若AP=PQ，如图①：过点P作PH⊥AC，则AH=QH=，PH∥BC
∴△APH∽△ABC，
∴，
即，
解得：（s）
若AQ=PQ，如图②：过点Q作QI⊥AB，则AI=PI=AP=t
∵∠AIQ=∠ACB=90°∠A=∠A，
∴△AQI∽△ABC
∴即，
解得：（s）
综上所述，当或或时，△APQ是等腰三角形．