Question

如图，等腰直角△ABC中，∠ABC=90°，点D在AC上，将△ABD绕顶点B沿顺时针方向旋转90°后得到△CBE．
（1）求∠DCE的度数；
（2）当AB=4，AD：DC=1：3时，求DE的长．

Answer

（1）由题意我们知道∠A+∠C=90°，那么我们只要通过全等三角形来得出∠BCE=∠A，就能得出∠DCE=90°的结论，那么关键就是证明三角形ADB和CBE全等，根据题意我们知三角形CBE是由三角形ABD旋转得来，根据旋转的性质我们可得出两三角形全等．
（2）由（1）可得出三角形DEC是个直角三角形，要求DE的长，就必须求出CD和CE，由（1）可知AD=CE，那么就必须求出AD和DC的长，有AD，CD的比例关系，那么求出AC就是关键．直角三角形ABC中，AB=AC，有AB的长，进而可得AC的值．
【解析】
（1）∵△CBE是由△ABD旋转得到的，
∴△ABD≌△CBE，
∴∠A=∠BCE=45°，
∴∠DCE=∠DCB+∠BCE=90°．

（2）在等腰直角三角形ABC中，
∵AB=4，∴AC=4，
又∵AD：DC=1：3，
∴AD=，DC=3．
由（1）知AD=CE且∠DCE=90°，
∴DE2=DC2+CE2=2+18=20，
∴DE=2．