Question

如图，已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，CD⊥AB于D，AD=9，BD=4，以C为圆心，CD为半径的圆与⊙O相交于P，Q两点，弦PQ交CD于E，则PE•EQ的值是（ ）

A．24
B．9
C．6
D．27

Answer

延长DC交⊙C于M，延长CD交⊙O于N．在⊙O中，由射影定理得CD=6．在⊙O、⊙C中，由相交弦定理可知PE•EQ=DE•EM=CE•EN，设CE=x，列方程求解得CE=3．所以DE=6-3=3，EM=6+3=9，即可求得PE•EQ．
【解析】
延长DC交⊙C于M，延长CD交⊙O于N．
∵CD2=AD•DB，AD=9，BD=4，
∴CD=6．
在⊙O、⊙C中，由相交弦定理可知，PE•EQ=DE•EM=CE•EN，
设CE=x，则DE=6-x，
则（6-x）（x+6）=x（6-x+6），
解得x=3．
所以，CE=3，DE=6-3=3，EM=6+3=9．
所以PE•EQ=3×9=27．
故选D．