Question

如图，已知点E在直角△ABC的斜边AB上，以AE为直径的⊙O与直角边BC相切于点D，∠B=30°．求证：
（1）AD平分∠BAC；
（2）若BD=3，求BE的长．

Answer

（1）进行证明一下，先连接OD，OD⊥BC和AC⊥BC，再由其平行从而得证；
（2）在Rt△ODB中求得OD，得到OB，从而得到所求．
证明：（1）连接OD（1分）
∵BC是⊙O的切线
∴OD⊥BC（2分）
又∵AC⊥BC（3分）
∴OD∥AC，（3分）
∴∠2=∠3；（4分）
∵OA=OD，
∴∠1=∠3；（5分）
∴∠1=∠2；（6分）
∴AD平分∠BAC；（6分）

（2）【解析】
在Rt△ODB中，∠ODB=90°，∠B=30°，BD=3．
∵，（7分）
∴OD=BD•tanB=3×=3（8分）
∴BO=2OD=6（9分）
∵OE=OD=3，
∴BE=BO-OE=6-3=3．（10分）