Question

已知x₁，x₂是关于x的一元二次方程x²-6x+k=0的两个实数根，且x₁²x₂²-x₁-x₂=115．
（1）求k的值；
（2）求x₁²+x₂²+8的值．

Answer

（1）方程有两个实数根，必须满足△=b2-4ac≥0，从而求出实数k的取值范围，再利用根与系数的关系，x12x22-x1-x2=115．即x12x22-（x1+x2）=115，即可得到关于k的方程，求出k的值．
（2）根据（1）即可求得x1+x2与x1x2的值，而x12+x22+8=（x1+x2）2-2x1x2+8即可求得式子的值．
【解析】
（1）∵x1，x2是方程x2-6x+k=0的两个根，
∴x1+x2=6，x1x2=k，
∵x12x22-x1-x2=115，
∴k2-6=115，
解得k1=11，k2=-11，
当k1=11时，△=36-4k=36-44＜0，
∴k1=11不合题意
当k2=-11时，△=36-4k=36+44＞0，
∴k2=-11符合题意，
∴k的值为-11；
（2）∵x1+x2=6，x1x2=-11
∴x12+x22+8=（x1+x2）2-2x1x2+8=36+2×11+8=66．