Question

如图，正方形ABCD中，点E在边AB上，点G在边AD上，且∠ECG=45°，点F在边AD的延长线上，且DF=BE．则下列结论：①∠ECB是锐角；②AE＜AG；③△CGE≌△CGF；④EG=BE+GD中一定成立的结论有    （写出全部正确结论）．

Answer

根据题意∠ECB在∠BCD=90°内部，可知∠ECB是锐角；根据点E在边AB上，点G在边AD上，且∠ECG=45°，判断不出AE与AG的大小；由DF=BE，四边形ABCD为正方形可证△CEB≌△CFD，从而证出CE=CF，∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD即∠ECF=∠BCD=90°，又∠GCE=45°所以可得∠GCE=∠GCF，故可证得△ECG≌△FCG，即EG=FG=GD+DF．又因为DF=BE，所以可证出GE=BE+GD成立．
【解析】
根据题意∠ECB在∠BCD=90°内部，可知∠ECB是锐角，故①正确；
根据点E在边AB上，点G在边AD上，且∠ECG=45°，
判断不出AE与AG的大小，故②错误；
在正方形ABCD中，
∵BC=CD，∠B=∠CDF，BE=DF，
∴△CBE≌△CDF．
∴CE=CF，
∵△CBE≌△CDF，
∴∠BCE=∠DCF，
∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD，即∠ECF=∠BCD=90°，
又∠GCE=45°，
∴∠GCF=∠GCE=45°．
∵CE=CF，∠GCE=∠GCF，GC=GC，
∴△ECG≌△FCG，故③正确；
又GE=GF．
∴GE=DF+GD=BE+GD，故④正确．
故答案为：①③④．