Question

如图直角坐标系中，已知A（-4，0），B（0，3），点M在线段AB上．
（1）如图1，如果点M是线段AB的中点，且⊙M的半径为2，试判断直线OB与⊙M的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，⊙M与x轴、y轴都相切，切点分别是点E、F，试求出点M的坐标．

Answer

（1）设线段OB的中点为D，证明MD=2，且MD⊥OB即可；
（2）先利用待定系数法求得直线AB的解析式：y=x+3，根据切线的性质得到点M到x轴、y轴的距离都相等，设M（a，-a）（-4＜a＜0）．代入y=x+3，即可求得a的值，即得到M的坐标．
【解析】
（1）直线OB与⊙M相切．
理由：设线段OB的中点为D，连接MD．
因为点M是线段AB的中点，
所以MD∥AO，MD=2．
所以MD⊥OB，点D在⊙M上．
又因为点D在直线OB上，
所以直线OB与⊙M相切；

（2）解法一：可求得过点A、B的
一次函数关系式是y=x+3，
因为⊙M与x轴、y轴都相切，
所以点M到x轴、y轴的距离都相等．
设M（a，-a）（-4＜a＜0）．
把x=a，y=-a代入y=x+3，
得-a=a+3，得a=-．
所以点M的坐标为（-，）．
解法二：连接ME、MF．
设ME=x（x＞0），则OE=MF=x，
因为一次函数关系式是y=x+3，
所以AE=x，所以AO=x．
因为AO=4，所以，x=4．
解得x=．
所以点M的坐标为（-，）．