Question

（1）如图1，已知点P在正三角形ABC的边BC上，以AP为边作正三角形APQ，连接CQ．
①求证：△ABP≌△ACQ；
②若AB=6，点D是AQ的中点，直接写出当点P由点B运动到点C时，点D运动路线的长．
（2）已知，△EFG中，EF=EG=13，FG=10．如图2，把△EFG绕点E旋转到△EF'G'的位置，点M是边EF'与边FG的交点，点N在边EG'上且EN=EM，连接GN．求点E到直线GN的距离．

Answer

（1）①根据正三角形的性质知∠BAC=∠PAQ=60°，所以∠BAC-∠PAC=∠PAQ-∠PAC；然后再由等边三角形的边都相等知AB=AC，AP=AQ；从而根据全等三角形的判定定理SAS来证明△ABP≌△ACQ；
（2）作辅助线“过点E作底边FG的垂线，点H为垂足”构建直角三角形，然后根据旋转的性质先证明△EFM≌△EGN（SAS）；最后求得∠ENG=∠EMF=90°、EM=12，即点E到直线GN的距离是12．
【解析】
（1）①∵三角形ABC和三角形APQ是正三角形，
∴AB=AC，AP=AQ，∠BAC=∠PAQ，
∴∠BAC-∠PAC=∠PAQ-∠PAC，
∴∠BAP=∠CAQ，
∴△ABP≌△ACQ
②如图：当点P由点B运动到点C时，点D运动路线为DD′，
∵AD=CD，AD′=D′Q′，
∴DD′=CQ′=AB=3；
∴点D运动路线的长为3．

（2）解法一：
过点E作底边FG的垂线，点H为垂足．

在△EFG中，易得EH=12．
类似（1）可证明△EFM≌△EGN，
∴∠EFM=∠EGN，
∵∠EFG=∠EGF，
∴∠EGF=∠EGN，
∴GE是∠FGN的角平分线，
∴点E到直线FG和GN的距离相等，
∴点E到直线GN的距离是12．
解法二：
过点E作底边FG的垂线，点H为垂足．过点E作直线
GN的垂线，点K为垂足，

在△EFG中，EH==12
同（1）可证明△EFM≌△EGN，
∴∠EFM=∠EGN，可证明△EFH≌△EGK，
∴EH=EK．
∴点E到直线GN的距离是12，
解法三：
把△EFG绕点E旋转，对应着点M在边FG上从点F开始运动．

由题意，在运动过程中，点E到直线GN的距离不变．
不失一般性，设∠EMF=90°．
类似（1）可证明△EFM≌△EGN，
∴∠ENG=∠EMF=90°，
求得EM=12，
∴点E到直线GN的距离是12．