Question

已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，D为AB边的中点，∠EDF=90°﹒现将∠EDF绕点D旋转，它的两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于E、F（如图）．当∠EDF绕点D旋转到DE⊥AC于E时，S_△ABC、S_△DEF、S_△CEF的数量关系是    ；当∠EDF绕点D旋转到DE和AC不垂直时，S_△ABC、S_△DEF、S_△CEF的数量关系是    ．

Answer

当∠EDF绕点D旋转到DE⊥AC于E时，连接CD，即可证得：△CDE≌△BDF，则S△DEF+S△CEF=S△CDE+S△CDF=S△BDF+S△CDF=S△ABC；
当∠EDF绕点D旋转到DE和AC不垂直时，连接CD，易得△CDE≌△BDF，则S△CDE=S△BDF，可以证得：S△DEF=S多边形CEFBD，则S△DEF-S△CEF=S△BCD=S△ABC．
（1）S△DEF+S△CEF=S△ABC 仍然成立．
证明：当∠EDF绕点D旋转到DE⊥AC于E时，连接CD．
∵Rt△ABC中，AC=BC，即△ABC为等腰直角三角形．
又∵D为AB边的中点，
∴CD=BD，∠ECD=∠FBD=45°，∠CDB=90°，
又∵∠EDF=90°，
∴∠EDF-∠CDF=∠CDB-∠CDF，即∠CDE=∠BDF，
在△CDE与△BDF中，
∵，
∴△CDE≌△BDF，
∴S△CDE=S△BDF，
∴S△DEF+S△CEF=S△CDE+S△CDF=S△BDF+S△CDF=S△BCD=S△ABC，
得证．

（2）当∠EDF绕点D旋转到DE和AC不垂直时，
猜想 S△DEF+S△CEF=S△ABC，
证明：连接CD，
同理易得△CDE≌△BDF，
∴S△CDE=S△BDF，
∴S△DEF+S△CEF=S四边形DECF=S△CDE+S△CDF=S△DBF+S△CDF=S△BCD，
又∵S△BCD=S△ABC，
则S△DEF+S△CEF=S△ABC．
故答案是：S△DEF+S△CEF=S△ABC，S△DEF+S△CEF=S△ABC．