Question

如图1，在直角坐标系xoy中，抛物线L：y=-x²-2x+2与y轴交于点C，以OC为一边向左侧作正方形OCBA上；如图2，把正方形OCBA绕点O顺时针旋转α后得到正方形A₁B₁C₁O（0°＜α＜90°）﹒
（1）B、C两点的坐标分别为______、______；
（2）当tanα﹦时，抛物线L的对称轴上是否存在一点P，使△PB₁C₁为直角三角形？若存在，请求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）在抛物线L的对称轴上是否存在一点P，使△PB₁C₁为等腰直角三角形？若存在，请直接写出此时tanα的值；若不存在，请说明理由﹒

Answer

（1）本题需先根据题意抛物线y=-x2-2x+2与y轴交于点C的性质，得出x、y的值，即可求出B、C两点的坐标．
（2）首先根据题意判断出存在，再设旋转后的正方形OA1B1C1的边B1C1交y轴于一点，抛物线的对称轴交OA1与点，交x轴于点，得出∠AOA1=∠C1OD，在分三种情况分别得出P1，P2（-1，），P3的坐标，即可求出答案．
（3）首先判断出存在﹒根据图形得出P1点、P2点符合条件﹒由图1和图2分别得出tanα的值．
【解析】
（1）∵抛物线L：y=-x2-2x+2与y轴交于点C
∴y=2，
∴x=0或x=-2，
∴B（-2，2），
C（0，2）．

（2）存在﹒设旋转后的正方形OA1B1C1的边B1C1交y轴于点D﹒
抛物线的对称轴x=-1交OA1于点E，交x轴于点F﹒
由已知，∵∠AOA1=∠C1OD，
∴=，
∴，
即点D是B1C1的中点﹒
①当点B1为直角顶点，显然A1B1与直线x=1的交点P1即为所求﹒
由Rt△EFO∽Rt△EA1P1，可得P1点坐标为（-1，）；
②当点C1为直角顶点，显然射线C1O与直线x=1的交点P3即为所求﹒
由Rt△OFP3易得P3点的坐标为（-1，-2）；
③当B1C1为斜边时，以B1C1为直径的圆与直线x=1的交点即为所求，
∵B1C1的中点D到直线x=1的距离恰好等于1，
∴以B1C1为直径的圆与直线x=1的交点只有一个P2﹒
又易得，∴P2点的坐标为（-1，）﹒
故满足题设条件的P点有三个：P1（-1，），P2（-1，），P3（-1，-2）；

（3）存在﹒显然在如图两种情况中的P1点、P2点符合条件﹒
由图1易得tanα=；
由图2中Rt△P2A1E∽Rt△OFE可得
tanα=．