Question

如图，以线段AB为直径的⊙O交线段AC于点E，点M是的中点，OM交AC于点D，∠BOE=60°，cosC=，BC=2．
（1）求∠A的度数；
（2）求证：BC是⊙O的切线；
（3）求MD的长度．

Answer

（1）根据三角函数的知识即可得出∠A的度数．
（2）要证BC是⊙O的切线，只要证明AB⊥BC即可．
（3）根据切线的性质，运用三角函数的知识求出MD的长度．
（1）【解析】
∵∠BOE=60°，
∴∠A=∠BOE=30°．（2分）

（2）证明：在△ABC中，∵cosC=，
∴∠C=60°．（1分）
又∵∠A=30°，
∴∠ABC=90°，
∴AB⊥BC．（2分）
∴BC是⊙O的切线．（3分）

（3）【解析】
∵点M是的中点，
∴OM⊥AE．（1分）
在Rt△ABC中，∵BC=2，
∴AB=BC•tan60°=2×=6．（2分）
∴OA==3，
∴OD=OA=，
∴MD=．（3分）