Question

如图，正方形ABCD中，点M是边BC上一点（异于点B、C），AM的垂直平分线分别交AB、CD、BD于E、F、K，连AK、MK．下列结论：①EF=AM；②AE=DF+BM；③EK＞FK； ④∠AKM=90°．其中正确的结论个数是（ ）

A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

Answer

根据三角形的全等得出△ABM≌△FGE，进而得出EF=AM，再利用矩形的性质可得出AE=DF+BM；再利用相似三角形的性质判断出线段之间的关系即可得出正确答案．
【解析】
作FG⊥AB于G，
∵AM的垂直平分线分别交AB、CD、BD于E、F、K，
∴∠ANE=90°，AN=MN，
∵∠AEN=∠AMB，∠ABM=∠EGF，GF=AB，
∴△ABM≌△FGE，
∴EF=AM，
故①选项正确，
由①得：AG=DF，GE=BM，
∴AE=DF+BM；
故②选项正确，
将M点当作动点问题，M点从B运动到C，可发现BK由等于DK变为大于DK，然而M不与BC点重合，所以BK始终大于DK，△KEB∽△KFD，
∴EK＞FK，
故③此选项正确；
过点K作RT⊥BC，此时TR⊥AD，
∵∠RDK=∠KDW=45°，
∴四边形DRKW是正方形，
∴RD=RK，
∴AR=KT，
∵AK=KM，
∴△ARK≌△KTM（HL），
∴∠AKR=∠KMT，
∴∠AKR+∠MKT=90°，
∴∠AKM=90°，
故④本选项正确．
故选D．